\(y=f'(a)(x-a)+f(a)\)
となります。
この接点を拡大してみると、
接点の近くでは接線\(y\)も元の関数\(f(x)\)も近い値をとることが分かります。つまり\(y=f(x)\)にとても近くなっていると乱暴にいうこともできます。
これまでは1回の微分だけで表していたからかなり狭い範囲でだけ\(y=f(x)\)だったけど、何回も微分してついに無限階微分した係数を使えば、もっと広く\(y=f(x)\)できるじゃね？というのがテイラー展開の基本的なアイデアになっています。
結構細かい論理は難しいので端折ると、
テイラー展開（一変数関数）
\(f(x)=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n=f(a)+f'(a)x+\frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2+\frac{1}{6}f'''(a)(x-a)^3\cdots\)
というように関数\(f(x)\)を\(x\)の級数和で表すことを\(x=a\)のまわりでのテイラー展開という。
また特に\(a=0\)ではマクローリン展開という。
\(f(x)=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2}f''(0)x^2+\frac{1}{6}f'''(0)x^3\cdots\)
\(f(x)=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n=f(a)+f'(a)x+\frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2+\frac{1}{6}f'''(a)(x-a)^3\cdots\)
というように関数\(f(x)\)を\(x\)の級数和で表すことを\(x=a\)のまわりでのテイラー展開という。
また特に\(a=0\)ではマクローリン展開という。
\(f(x)=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2}f''(0)x^2+\frac{1}{6}f'''(0)x^3\cdots\)
という数学のテクニックがあります。実はこれは結構制約があり、微分可能性とか収束半径とか平均値の定理とからめてでてくる剰余項だとかを考える必要があるのですが、とにかく応用コースではこんなものにしておきます。
ただ、収束半径が無限なものはどこの周りでテイラー展開しても同じなので原点のまわりでするのが整然として好まれますからテイラー展開といえばマクローリン展開みたいなことを暗に言ってる文脈もあります。
主要な関数のマクローリン展開はこちら。
| \(\sin x\) | \(\frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)!}x^{2n-1}\) |
| \(\cos x\) | \(\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n}\) |
| \(\log x\) | \(\frac{(-1)^{n+1}}{n!}x~n\) |
| \(e^x\) | \(\frac{1}{n!}x^n\) |
実用の上では途中で打ち切って考えることがよくあります。というのは
\(f(x)=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\)
では面倒なので、多少精度が落ちこんでも
\(f(x)\approx f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2}x^2\)
くらいに抑えたりすることもあります。初めて研究したり勉強したりする分野で問題を簡単にしてみるための手法です。
結構有名なのは
\(log(1+x)\approx x\)
というさっぱりしたものでしょうか。\(log(1+x)\)はけっこう出番も多いので頻繁に使います。
なかには、かなりの精度で実用に耐えうるものになることもありますし。なお、これ\(x^n\)の項までで近似をやめることを\(n\)次の近似といいます。接線は1次近似になります。
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