きっとよくわかる経済学

\(\frac{dx_2}{dx_1}\)は財1の消費量が少し変わった時の財2の消費量変化の比ですから、この限界代替率の意味は分かりやすいのではないでしょうか。マイナスがついている理由はちょっと説明が難しいですね。練習問題で解説するのでそちらをやってください…。
そしてこの公式が成り立ちます。

「限界代替率は限界効用の比に等しい」ということを表しています。この証明がサッとできるようになるには多少全微分や偏微分に慣れがいるかもしれませんが、これらの概念を知ったいまなら読んで分かると思います。

では、証明しましょう。

無差別曲線\(u=u(x,y)\)を全微分して
\(du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy\)
無差別曲線の定義から\(du=0\)であるので、
\(\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy=0\)
これを限界代替率\(-\frac{dy}{dx}\)について解くと
\(-\frac{dy}{dx}=\frac{\partial u/\partial x}{\partial u/\partial y}\)

あとで練習問題でこの公式の証明や運用について実践しましょう！この限界代替率の公式は後で予算制約線を導入して（加重）限界効用均等の法則（ゴッセンの第二法則）を導く時に使います。ので、今わからなくてもなんとか練習問題を通じてその時にはこの公式をパパッと思い出せるようにしましょう。

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