連鎖律（チェイン＝ルール）
\(f=f(a(x),b(x))\)で表される関数\(f\)について
\(\frac{df}{dx}=\frac{\partial f}{\partial a}\frac{da}{dx}+\frac{\partial f}{\partial b}\frac{db}{dx}\)
\(f=f(a(x),b(x))\)で表される関数\(f\)について
\(\frac{df}{dx}=\frac{\partial f}{\partial a}\frac{da}{dx}+\frac{\partial f}{\partial b}\frac{db}{dx}\)
この関係式の簡単な説明はこんな感じです。証明は理論編をそのうちに整備しますのでそこで確認ください。
\(f=f(a(x),b(x))\)から
\(df=\frac{\partial f}{\partial a}da+\frac{\partial f}{\partial b}db\)
両辺を\(dx\)で割ると
\(\frac{df}{dx}=\frac{\partial f}{\partial a}\frac{da}{dx}+\frac{\partial f}{\partial b}\frac{db}{dx}\)
となる。
これは多変数関数についても成り立ちます。こちらも厳密な証明は省略します。
例えば
\(f=f(a(x,y),b(x,y))\)なら
\(\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial a}\frac{\partial a}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial b}\frac{\partial b}{\partial x}\)
となります。\(y\)についての偏微分の関係式を得たいなら\(x\)でなく、\(y\)を採用すれば問題ありません。
直接効果と間接効果を分けるような時によく使う特殊なパターンを紹介します。
\(\frac{df}{dx}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial a}\frac{da}{dx}\)
ただし、\(f=f(x,a(x))\)
先ほどの式で\(b(x)=x\)の条件のもとでチェイン=ルールを適用するだけです。
\(x\)からでてくる\(\frac{\partial f}{\partial x}\)を直接効果、\(a(x)\)からくる\(\frac{\partial f}{\partial a}\frac{da}{dx}\)を間接効果と言ったりします。
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