費用最小化問題
\(min\ \ p\cdot x\)
\(s.t.\ \ u=u(x)\)
効用水準が一定(\(u=u(x)\)のもとで費用\(p\cdot x\)を最小化するように財を消費しなさいという問題です。つまり「これだけ満足したい時に最低限支払うべき費用とそのときに何をどけだけ買うのか考えよう」といのが費用最小化問題。
こうした最適な消費量の組み合わせによって実現される需要量を補償需要といい、この考え方の功労者ヒックスの名をとって「ヒックスの補償需要\(h\)」で表しています。また、この最低限支払う費用をヒックスの補償所得といいます。
補償需要、補償所得は価格体系\(p\)と効用水準\(u\)が決まっているときに費用最小を実現するように行動する結果ですからそれぞれ\(p,u\)の関数になっています。
補償需要：\(h=h(p,u)\)
補償所得：\(E=E(p,u)\)
効用最大化問題とは双対問題の関係にあります。
「双対問題？」という方は決して無理にこれを学ぶ必要はありません。以下の等式をしっかり理解できれば問題ないでしょう。
\(V(p,E(p,u))=u\)
間接効用\(V(p,I)\)は所得\(I\),価格\(p\)が与えられているときに実現できる最大の効用でした。じゃあ\(I\)に入っている\(E(p,u)\)は何か、といえば先ほどの効用が\(u\)を実現するときに必要な所得をあらわしています。これを組み合わせると\(I=E\)なら\(u=V\)ということが簡単に理解できるはずです。
\(E(p,V(p,I))=I\)
逆にいえば\(u=V\)ならば\(E=I\)となります。こちらの方向から式に表現した式がこれにあたります。
ヒックスの補償需要曲線
費用最小化問題の解となる点\((h_i,p_i)\)の集合。
「効用最大化問題」と「費用最小化問題」は動かすものが違うだけでやっていることは同じで求めた結果も当然一緒になります。ですから、同じ効用水準もしくは費用の条件があれば補償需要とマーシャル需要はまったく等しくなります\(h(p,u)=x(p,I)\)。
また、効用水準をいじらないことにすればヒックスの補償需要は価格体系だけの関数\(h=h(p)\)になります。
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