問題：限界代替率と価格比
\(max\ u(x,y)\)
\(s.t.\ p_xx+p_yy=I\)
上の効用最大化問題の解\((x,y)\)のまわりにおける限界代替率\(-\frac{dx}{dy}\)を2財の価格\(p_x,\ p_y\)を用いて表せ。





【解答】
最適消費を実現する点ではそれ以上の効用改善ができないから
\(u=u(x)\)よりも上に\(p_xx+p_yy=I\)は存在できない。

また、予算制約式を満たす点でしか効用を実現できないから
\(u=u(x,y)\)と\(p_xx+p_yy=I\)とを同時に満たす点\((x,y)\)が解の条件である。

そのような点の周りでの微分は予算制約式の傾きに等しい
\(-\frac{dx}{dy}=\frac{p_y}{p_x}\)

【コメント】
この問題の結果は非常に大切です。定理としてまとめておきます。

\(-\frac{dx_1}{dx_2}=\frac{p_2}{p_1}\)
これは\(n\)財あるときの任意の2財について成立する


注意すべきは分母分子を入れ替えないこと、ですかね。
忘れないために所得の全微分で検算する手もあります。

\(dI=p_1dx_1+p_2dx_2=0\)(なぜなら所得は定数)
これを限界代替率について解くと
\(-\frac{dx_1}{dx_2}=\frac{p_2}{p_1}\)

ちなみにこの方法で高速にこの定理を導けるわけではありません。予算制約の性質上この式は必ず満たしますが、効用最大の条件が入っていません。この定理の条件では偶然等値になるだけです。

このページは手を抜いて作ったので答えもあまりよくなく、問題の条件も甘いかもしれません。また直しておきます。
もし、なにかありましたら連絡ください。

もくじ
（１） 選好と効用
（２） 行動原理 （３） スルツキー分解
  • 代替効果
  • 自己代替効果
    • ＠
  • 所得効果
    • ＠
  • スルツキー分解
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