(1) ライプニッツ則\((f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)を示せ。
(2) \(f(x)=(2x^3+x^2+5x+9)e^x\)の微分\(\frac{df}{dx}\)を求めよ。
(2) \(f(x)=(2x^3+x^2+5x+9)e^x\)の微分\(\frac{df}{dx}\)を求めよ。
【解答】
(1)
\((f(x)g(x))'\)
\(=\lim_{a \to 0} \frac{f(x+a)g(x+a)-f(x)g(x)}{a}\)
同じものを足し引きしても式は変わらないので
\(=\lim_{a \to 0} \frac{f(x+a)g(x+a)-f(x)g(x+a)+f(x)g(x+a)-f(x)g(x)}{a}\)
分母に分配法則を使って
\(=\lim_{a \to 0} \frac{f(x+a)g(x+a)-f(x)g(x+a)}{a}+\lim_{a \to 0} \frac{f(x)g(x+a)-f(x)g(x)}{a}\)
微分の定義から
\(=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)
(2)
(1)で証明したライプニッツ則から
\(\frac{df}{dx}\)
\(=(2x^3+x^2+5x+9)'e^x+(2x^3+x^2+5x+9)(e^x)'\)
\(=(6x^2+2x+5)e^x+(2x^3+x^2+5x+9)e^x\)
\(=(2x^3+7x^2+7x+14)e^x\)
【コメント】
(1)で示したライプニッツ則は便利な公式なのでぜひ覚えてください。
多項式の積なら展開して微分することもできますが、(2)のような問題は微分の定義や通常の微分の公式の知識だけではなかなか解くのが難しいと思います。このような時でもライプニッツ則を使えば単純な微分の公式に持ち込むことができます。
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