問題：変化率と時間微分
(1) GDPを\(Y\)とする。\(Y\)の成長率を時間微分\(\frac{dY}{dt}\)であらわせ。
(2) \(\frac{dx/dt}{x}=\frac{d}{dt}\log x\)を示せ。
(1) GDPを\(Y\)とする。\(Y\)の成長率を時間微分\(\frac{dY}{dt}\)であらわせ。
(2) \(\frac{dx/dt}{x}=\frac{d}{dt}\log x\)を示せ。
【解答】
(1)
時点\(t\)におけるGDPを\(Y_t\)とすると時点\(t+\delta\)のGDPは\(Y_{t+\delta}\)
無限小の時間での成長率を\(n\)とおくと\(\delta \to 0\)で\(Y_{t+\delta}=(1+n)Y_t\)
よって\(\frac{dY}{dt}=Y_{t+\delta}-Y_t=(1+n)Y_t-Y_t=nY_t\)
なので\(n=\frac{dY/dx}{Y}\)
(2)
\(a(x)=\log x\)とおくと\(\frac{da}{dx}=\frac{1}{x}\)
\(\frac{d}{dt}\log x=\frac{da}{dx}\frac{dx}{dt}=\frac{dx/dt}{x}\)
【コメント】
成長率というのは\(\frac{dx/dt}{x}\)のことである、というのが(1)の問題でした。
そして成長率を求める方法として\(\log\)をとって微分するのがよい、ということが(2)でわかります。
成長率に関してはやはり経済成長理論でよく使われるのでぜひにマスターしてください。
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