\(y=g(f(x))\)というように関数\(g,f\)を合成して\(y\)が\(x\)の関数になっている。
このとき、
\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{df(x)}\frac{df(x)}{dx}\)
が成り立つ
この関係式自体は割り算のようになっていてとても覚えやすいと思います。このとき、
\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{df(x)}\frac{df(x)}{dx}\)
が成り立つ
この公式で注目すべきことがあります。
(1) 変数が１つのときに使う
(2) 置換微分に利用
(1)について
変数がいくつもあるときは偏微分といいます。直感的に似たような構造の偏微分は結果が変わってしまうので注意が必要です。
(2)について
複雑な形をした関数の微分で大きな力を発揮します。が、説明は置換微分にまわします。まずはこの公式の証明からです。
【証明】
\(z=f(x),y=g(z)\)とおきます。
\(\frac{\Delta y}{\Delta x}\)
\(=\frac{\Delta y}{\Delta z}\frac{\Delta z}{\Delta x}\)
おいた文字を関数に戻し
\(=\frac{g(z+\Delta z)-g(z)}{\Delta z}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\)
となる。
ここで\(\Delta x \to 0\)なら\(Delta z=f(x)-f(x)=0\)に収束するから\(Delta z \to 0\)
\(\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\)
\(=\lim_{\Delta z \to 0}\frac{g(z+\Delta z)-g(z)}{\Delta z}\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\)
微分の定義から
\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{df(x)}\frac{df(x)}{dx}\)
これで合成関数も簡単に微分できるようになりました。しかし、そう都合よく合成関数が与えられるわけではありません…
ではなく、複雑な1変数関数を合成関数にみなしてしまえばいいわけです。これが置換微分ってやつです。これをマスターすればかなりの面倒な微分に対応できます。
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