ロピタルの定理
適用条件
(1)\(\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}\)が不定形であること。
(2)\(\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}\)の極限値が存在すること。
この適用条件を満たすならば
\( \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}\)
が成り立つ。
適用条件
(1)\(\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}\)が不定形であること。
(2)\(\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}\)の極限値が存在すること。
この適用条件を満たすならば
\( \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}\)
が成り立つ。
まずはこの定理がいかに有用かを見てみようと思います。
問題：\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x}\)を求めよ。
簡単な例ですが、指数関数と累乗の関数を比較してどちらが大きくなるかを示す第一歩にもなる問題でもあります。
まず、適用条件を確認します。
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}e^x=\infty \)かつ\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}x=\infty \)ですから\(\frac {\infty }{\infty }\)型の不定形には間違いありません。
それぞれの微分をみると
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{e^x}{1}=\infty \)と極限値が存在します。
ここでロピタルの定理から
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x}=\infty \)
このほかにも直接求めるのがたいへんな多くの極限についてロピタルの定理はおおきな力を発揮します。
高校数学ではさみうちの原理を使って厄介な求め方をさせられた\(\displaystyle \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{sin\ x}{x}\)などめんどうな極限を簡単な手続きで処理できます。
※高校数学の範囲ではロピタルの定理は証明されておらず、受験では解答に使ってはいけないことになっているみたいです。ただ、検算用やマークシートの試験ではいわゆる受験テクニックとして予備校などで教えてもらうみたいです。
もくじ